経路積分の解説 : Dirac と Feynman の物理センス
[経路積分] ☆☆ ２０１８年９月末 ： 「新しい解説」
経路積分についてここで簡単な解説をしておこうと思います。まだ依然として、この経路積分が有用であると信じている若手研究者がいるように見受けられます。確かにこの方法は調和振動子ポテンシャルに関しては、第１量子化をうまく実行できていて、そのエネルギー固有値も正しく求められています。しかし一般のポテンシャルについては無力である事が証明されています。参考文献を挙げておきますので読んで見て頂ければと思います。 (Path Integral and Sommerfeld Quantization)].
ところで、この経路積分は最初にDiracがこの問題を調べ始め、それをFeynmanが引き継いで最終的な定式化をしたと言われています。結果的に、この手法が使い物にはならない事が判明している点を見ても、この両者の物理センスの違いが良く現れている気がしています。恐らく、Diracはこの経路積分の方法における限界とその問題点が分かっていたのではないかと推測しています。一方、Feynmanは経路積分の定式化を厳密に実行することに集中していた反面、経路積分の限界に関しての検証が甘かったものと思われます。
このことは繰り込み理論の問題に対する両者の違いを見てみると良くわかります。Feynmanはバーテックス補正に無限大が現れた時、その無限大の原因が彼が提案していた伝播関数そのものにあると言う事には考え及ばなかったものと思います。一方、Diracは物理的な観測量に発散がでたら、それはその定式化の何処かに欠陥がある事によっているはずであると主張していました。結果的には、場の理論計算における定式化の基礎であるFeynmanの伝播関数に問題の根源がありました。自然科学の論理からみてみれば、これはDiracの主張が正しい事は明らかです。無限大を波動関数に押し込めてしまい、その残りの量を観測量であるとするやり方には無理があります。しかし歴史的には、人々はFeynmanの方法を支持しました。それはその手法が簡単で実験も偶然、再現する事が出来たからでしょう。しかしそれにしても観測量に無限大がでてきたら、そこには定式化の基本的な部分に問題があるはずであると考えるのが自然なことだと思われますが、現実にはこれまでずっと繰り込み理論が支持されてきました。これは今となっては非常に不思議な事ですが、何が原因だったのでしょうか？
経路積分に関しても、もし微分方程式を解かないで、積分だけでエネルギー固有値が求められたら、それは確かに面白い方法だと言えます。しかしその場合、「束縛状態を解くための境界条件はどうしたらその定式化に組み入れる事ができるのか」と言う基本的な命題については、しっかり考えて検証する事が必須条件でした。しかし経路積分に関するFeynmanの３編の論文を読む限り、彼がこの問題を考えたと言う証左は見つかりませんでした。一方、Diracは恐らくこの定式化では境界条件を入れられない事を認識していたのではないかと想像していますが、残念ながらこの事を確める術はありません。しかしながらこれまでのDiracの主張を見る限り、彼の視点は常に合理的に物を見ているように見受けられます。
経路積分に関して簡単な解説をしましたが、歴史的に言って経路積分の定式化を誰がどのように行ったのかと言う問題も確かにある程度、重要であるとは思っています。しかしながら、自分に取ってはそれよりも遥かに大切な事があります。それは自分の言葉で自然をしっかり理解したいと言うことです。このために少しでも良いから前に進んで行きたいものと思っています。尤も、年を重ねてくると、残念ながらほとんど進歩はしていないことが自分には良く分かってはいます。しかしそれでも少しずつ少しずつ・・・ですね・・・・。
[付記SS] : 理論物理の基礎トレーニング [２０２４年７月]
理論物理学の研究においてトップレベルの新しい研究を持続して行うためには『基礎物理学の演習問題を解く』と言う作業が重要となっています。例えば、電磁気学の演習問題を解き直してみるとかゲージ不変性について再検証すると言うような基本的な作業を普段から行っていない限り、高いレベルの研究を続けることは、まず不可能となっています。実際問題として、しばらく前に提案した『 試験問題 』を自分で解けない研究者が新しい研究を遂行できるはずがありません。理論物理学の新しい研究は常に基礎物理学を土台として、その上に成り立っているからですね。